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有奖逻辑题之三（比较难）

作者：xiyang 　　日期：2007-09-03 10:17　　点击：8966次

这道题是个非常古老的题，对锻炼逻辑思维能力非常有帮助，但恐怕只有5、6年级的同学才有机会做出来。

题目描述：
有13个球，外观都一样，但是其中一个的重量与其他12个稍有不同，现在给你一个天平，你可以有三次使用机会，通过对比重量，把这个特殊的球找出来。

题非常难，如果不看答案，许多成人一辈子都做不出来。
描述天平使用的过程也非常难，提示一下，可以把13个球用序号来定义，分别是1、2、3......13。说清楚这三步哪几个号放在左边，哪几个号放在右边，每一步都会有三种结果，天平可能左边重也可能右边重再或者持平，然后再根据每一步的结果继续描述下一步。因此，如果能描述清楚所有过程，将是非常了不起的。

如果哪位同学能做出来，我建议sun老师给个大奖。

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文章评论　共 110 个评论

sun老师发表于: 2007-09-03 21:22 引用

1楼

支持夕阳!看来我得修改一下六年级小组授课计划了,原本第一讲准备的讲义中就有这个例题的.

bihu 发表于: 2007-09-04 21:55 引用

2楼

老师好！儿子迷上解答老师的难题了。刚上完英语回来，看到新题迫不及待就做，还好只花了5分钟不到，但就如老师所说，描述答案不容易。解答如下： 1，把这些球分成4份，每份分别为4，4，4，1个球。 2，把第1份的4个球分成2份，每份分别为2，2个球，放到天平两边。假设天平不平衡，就在天平两端各取一个球，交换位置，如果天平两端轻重发生改变，说明这两个球中含有重量不同的那个特殊球，将这两个球中的任意一个球与除了这两个球之外的任意一个球在天平上称，如果一样重，两球中的另一个就是特殊球，如果不一样重，特殊球就是这个球。如果天平两端轻重不发生改变，说明另外两个球中含有重量不同的那个特殊球，将那两个球中的任意一个球与除了那两个球之外的任意一个球在天平上称，如果一样重，那两个球中的另一个就是特殊球，如果不一样重，特殊球就是那个球。假设天平平衡，就用第2份重复上面的步骤。假设第2份天平也平衡，就用第3份重复上面的步骤。假设第3份天平也平衡，特殊球就是剩下的那个球。儿子口述，我打得都有点晕。没有编号，不知老师能看明白吗？儿子在旁说老师肯定明白。他又惦着领奖了。小小建议，老师能否固定周末出题，开学了，周末时间宽裕点。

xiyang 发表于: 2007-09-05 09:48 引用

3楼

呵呵，如果我没有记错，你的孩子应该刚上4年级，能有这么好的逻辑思维能力相当不错。表述最好还是用球的编号来进行，然后以第一步、第二步、第三步的形式描述出来，这样更清晰。对未来学习计算机编程也大有好处。

我在这里把你的做法描述一遍。13个球的编号分别是1、2、3......13

第一步：左称1、2，右称3、4
情况一：左轻，说明特殊球在1、2、3、4中，则进入第二步I
情况二：右轻，同上进入第二步I
情况三：平衡，说明特殊球在其他九个球中，进入第二步II

第二步I：交换1、3的位置
情况一：天平左轻不变，说明特殊球在2、4中，取2、4种任意一球与其它一个标准球进行第三步比较，得出结论。
情况二：天平右侧变轻，说明特殊球在1、3中，取1、3种任意一球与其它一个标准球进行第三步比较，得出结论。

第二步II：左称5、6，右称7、8
情况一：左轻，说明特殊球在5、6、7、8中，进入第三步I
情况二：右轻，同上进入第三步I
情况三：平衡，说明特殊球在9、10、11、12、13中，进入第三步II

第三步I：交换5、7的位置
情况一：天平左轻不变，说明特殊球在6、8中，取6、8中任意一球与其它一个标准球进行第四步比较，得出结论
情况二：天平右侧变轻，说明特殊球在5、7中，取5、7中任意一球与其它一个标准球进行第四步比较，得出结论

第三步II：..............

可以看出，在你的方法中，只有在第一份不平衡或者前三份都平衡的时候，你才可以用三步称出来，假如第一份平衡，后面两份有任意一份不平衡，你使用天平的次数一定超了。
非常遗憾，不过，作为4年级的同学来说，已经相当不错了。这道题可是我初一参加一次竞赛遇到的题，原题是12个球，并且要明确特殊球的质量是轻还是重，我这里稍微变化了一下，增加一个球，但是只要确定特殊球就可以。

另外，我要告诉你一个情况，我长大以后，我曾经问过不下200个成年人，只有2个人做出来，而且用时都超过了一天，这两个人都是名校理工科硕士毕业生呢。还有一个更有趣的情况，一个特别著名的计算机软件专家，曾就职于某著名网站的CTO（最高技术负责人），他做了一个月都没有做出来，最终投降。所以，不要灰心，继续努力！

bihu 发表于: 2007-09-05 10:40 引用

4楼

审题不清，刚仔细一看，天平只能用三次，怪不得他昨晚还要分组继续解，我以为有答案就可以了，赶快让他睡了。今早还嘱咐我帮他看结果，晚上让他再想想吧。您提到计算机编程，他暑假开始感兴趣询问，我在校外没找到合适的班，也不知学校有无这方面的小组，正向人打听合适的书，不行就只有自学。老师可以给些建议吗？附小有这方面的小组吗，有什么适合初学的书。先谢谢老师！

灵之来兮如云发表于: 2007-09-05 11:45 引用

5楼

我也要做！孩子太小，我倒是记得自己小时候竞赛做过类似的题，不会是还要多借用一只球之类的吧。。。不过人老了也真是懒，看了几天都懒得开始想，还想教育孩子勤动脑呢，惭愧。。。。。。

xiyang 发表于: 2007-09-05 12:41 引用

6楼

引用第6楼灵之来兮如云北大附小于2007-09-05 11:45发表的: 我也要做！孩子太小，我倒是记得自己小时候竞赛做过类似的题，不会是还要多借用一只球之类的吧。。。不过人老了也真是懒，看了几天都懒得开始想，还想教育孩子勤动脑呢，惭愧。。。。。。

人老了更应该多动脑子，谨防老年痴呆啊：）

xiyang 发表于: 2007-09-06 17:20 引用

7楼

引用第5楼bihu于2007-09-05 10:40发表的: 您提到计算机编程，他暑假开始感兴趣询问，我在校外没找到合适的班，也不知学校有无这方面的小组，正向人打听合适的书，不行就只有自学。老师可以给些建议吗？附小有这方面的小组吗，有什么适合初学的书。先谢谢老师！

我个人的意见，一般情况下，不宜让孩子太早专注于计算机编程，在这个年龄，思维能力锻炼的价值远大于熟练使用某种工具。

灵之来兮如云发表于: 2007-09-06 23:06 引用

8楼

引用第7楼xiyang 加加堂于2007-09-05 12:41发表的: 人老了更应该多动脑子，谨防老年痴呆啊：）

是啊，我的孩子好象学数学也挺有潜力但是特别懒，懒得用她的小脑袋，你说一个人要是懒得跑当然就不能练网球啦只能搞高尔夫之类的（虽然Michelle Wie后来也挺有出息但是我们的情况毕竟不同一定要训练改正啊）。我检讨啊是不是我做了坏榜样。发誓要从我做起洗心革面，这个周末我一定找个时间认真做。做出来了告诉您啊。

xsjz 发表于: 2007-09-07 11:14 引用

9楼

我个人的意见，一般情况下，不宜让孩子太早专注于计算机编程，在这个年龄，思维能力锻炼的价值远大于熟练使用某种工具。谢谢老师提醒！我是bihu妈妈。儿子太好玩，我们一般也尽量满足他，从小看孩子长大，孩子许多行为喜好是一过性的，习惯了支持他涉猎，并没深思。作这道题的过程确实如老师所述，锻炼思维能力，害怕老年会痴呆的姥爷打电话来，昨天做一天的成果是除一个极特殊的情况用四次天平外，其余三次都可解决，但他没用完题目条件。儿子这几天因鼓号队和管乐团集训早起晚归，没进展。看他晚上在床上念念有词的摆弄糖块，就知他犯难了。我会继续关注这里，冒着看到答案破坏我享受做题乐趣的危险。这题真的很好玩呢！

灵之来兮如云发表于: 2007-09-07 11:51 引用

10楼

人生啊，我工作不好好做搞了半天才搞这点东西。。。看样子12个球是可以做的啦，大致是：1234对5678，结果一样的话下面四个中取三个对照称过的三个正常球；如果不一样不论轻重处理差不多啦，各拿掉两个换下面一个正常球作参照129对5610这样，可能有不止一种做法？我的头有点晕。是轻是重应该很明显，具体我就不写啦。可是我就是不明白，为什么能搞成13个球还一样三次呢？而且不用知道是重是轻？这也太难了吧。另外，我发现如果想把问题搞得简单一些（没办法我难的作不出啊），告诉我们是轻是重，然后12个（只有12啊！），这个样子就好做多咯解释也容易！哈哈！懒人可以先试这样的！

____________________________________________

刚刚写得不对啦，现在编辑补充一个详细的“12球而且一定要知道轻重“的解(我们以<>来表示天平左右轻重)：
第一步1234称5678:
1)如果1234=5678，剩下9,10,11,12任何一球都可能轻重有8种可能。然后第二步9，10，11称1，2，3：
--如果9，10，11>1，2，3，有三种可能（9，10，11任何一个重）。第三步9称10，9>10就是9重，9=10就是11重，9<10就是10重
--如果9，10，11=1，2，3，那么12球要么重要么轻。第三步拿12称任何一个球就是答案
--如果9，10，11<1，2，3，有三种可能（9，10，11任何一个轻）。第三步9称10，9>10就是10轻，9=10就是11轻，9<10就是9轻
2)如果1234>5678，此时要么1234任何一个重要么5678中任何一个轻，还有8种可能。然后第二步1,2,5称3,6,9：
--如果1,2,5>3,6,9，还有三种可能（1重或2重或6轻），所以第三步1称2,如果1>2就是1重，1<2就是2重，1=2就是6轻
--如果1,2,5=3,6,9，还有三种可能（4重或7轻或8轻），第三步7称8，7>8就是8轻，7=8就是4重，7<8就是7轻
--如果1,2,5<3,6,9，有两种可能（5轻或者3重），所以5称3就行啦。
3)如果1234<5678，情况类似2。

[ 此贴被灵之来兮如云在2007-09-07 21:35重新编辑 ]

灵之来兮如云发表于: 2007-09-07 12:13 引用

11楼

引用第10楼xsjz于2007-09-07 11:14发表的: 儿子这几天因鼓号队和管乐团集训早起晚归，没进展。看他晚上在床上念念有词的摆弄糖块，就知他犯难了。我会继续关注这里，冒着看到答案破坏我享受做题乐趣的危险。这题真的很好玩呢！

你们孩子真聪明，如果我女儿到时能这样我就挺美了。。。好好培养啊，多帮他空出点时间，培养兴趣或许也要注意抓重点。我总听我们家的北大数学老师叨叨自己小时候没有坚持练提琴未必是坏事，所有的时间都是成本呢。

灵之来兮如云发表于: 2007-09-07 13:52 引用

12楼

终于有答案了，呵呵。具体提示如下，还是让高年级孩子继续想吧： 1。第一步还是1234对5678。 2。当一样，问题球出在剩下五只时，第二步你要取若干来对照标准球，和12球做法差不多。 3。当不一样，问题球在前八个里面时，设1234重，第二步要把剩下所有标准球统统放在一边做对照，另一边由原来的问题球中组合而成。有时候前面三步都一样，那么问题就是最后一个剩下的球，这就是为什么题里说不一定知道是轻还是重了。期盼女儿快快长大，我们可以一起做数学题一起健脑，我也要坚决抵制老年痴呆!

[ 此贴被灵之来兮如云在2007-09-07 14:02重新编辑 ]

xiyang 发表于: 2007-09-07 14:46 引用

13楼

呵呵，为什么需要把所有过程描述清楚呢，因为这样才能发现问题所在，其实逻辑题很重要的就在于描述严谨在灵之来兮如云的做法中，当1234和5678不一样时，第二步的描述过于笼统，即便如此，按照字面的意思去理解，显然是得不到正解的

xiyang 发表于: 2007-09-07 15:19 引用

14楼

引用第9楼灵之来兮如云于2007-09-06 23:06发表的: 是啊，我的孩子好象学数学也挺有潜力但是特别懒，懒得用她的小脑袋，你说一个人要是懒得跑当然就不能练网球啦只能搞高尔夫之类的（虽然Michelle Wie后来也挺有出息但是我们的情况毕竟不同一定要训练改正啊）。我检讨啊是不是我做了坏榜样。发誓要从我做起洗心革面，这个周末我一定找个时间认真做。做出来了告诉您啊。

呵呵，想懒是无可厚非的，大多数人都如此。但想懒又想取得跟勤快人一样的成绩，那就只能多动脑筋，这就是我们常说的，要善于用巧。某种角度看，人类生产科技之所以能不断进步，可能就是懒的情结在驱动，总希望用最懒却是最高效的方式去获取劳动成果，于是不断创造出新生产工具，包括我们现在使用的电脑。数学家高斯小时候的故事想必许多朋友都听过，当他老师让大家做从1加到100之和的时候，许多勤快的同学马上开始一个一个数地计算起来了，只有他托腮沉思，却第一个得到了答案。你说他算不算懒？所以呢，哪儿懒小脑袋瓜也不能懒。

sun老师发表于: 2007-09-11 22:00 引用

15楼

这个题的确比较麻烦,我开始看错了,以为是12个球的.不知夕阳你改题时是怎样想的?为什么想到改13个?改后确认一定有办法解答吗?再增加个数还有没有可能?增加到多少就一定不可能?我这人爱提问题,且喜欢把一个问题弄透彻.有时间我好好琢磨琢磨.

xiyang 发表于: 2007-09-11 23:35 引用

16楼

引用第16楼sun老师于2007-09-11 22:00发表的: 这个题的确比较麻烦,我开始看错了,以为是12个球的.不知夕阳你改题时是怎样想的?为什么想到改13个?改后确认一定有办法解答吗?再增加个数还有没有可能?增加到多少就一定不可能?我这人爱提问题,且喜欢把一个问题弄透彻.有时间我好好琢磨琢磨.

呵呵，我可以负责任地说，一定有办法解，但三次机会，最多就是13个了。关于孙老师的思考，本来我是想等有人做出来以后再继续出题的，也就是说反着出题，比如有8次称的机会，最多能在多少个球中找出一个特殊球。当然，这个问题对小学生来说可能有点过于难了，但我相信只要做出第一步，就有机会做第二题。呵呵，当初我也像sun老师一样喜欢琢磨透，就尝试了一下反推，结果发现答案惊人并且有趣，只是反推确实很难，花了不少时间才找到算法

xsjz 发表于: 2007-09-12 12:00 引用

17楼

姥爷上周五做出来了，据说只有一步要考虑，其余都是逻辑推理，电话里笑着说写答案花了不少时间。儿子还没作出，最近早出晚归太忙了。

xsjz 发表于: 2007-09-12 13:24 引用

18楼

引用第12楼灵之来兮如云于2007-09-07 12:13发表的: 你们孩子真聪明，如果我女儿到时能这样我就挺美了。。。好好培养啊，多帮他空出点时间，培养兴趣或许也要注意抓重点。我总听我们家的北大数学老师叨叨自己小时候没有坚持练提琴未必是坏事，所有的时间都是成本呢。

儿子就是兴趣太多，上学期五个学校的活动班队，假期集训比赛时间都打架，四年级了我也想砍哪，可他还惦着加，兴趣的重点怎么抓，我们好像一直都只是在纵容他的喜好。

lililu 发表于: 2007-09-12 16:05 引用

19楼

这道题麻烦的是不知那个不一样的球，是比别的轻还是重。

xiyang 发表于: 2007-09-12 18:26 引用

20楼

11楼的灵之来兮如云后来重新编辑的帖子是12球的正解，描述得步骤也相当不错，只是在倒数第二行有一个笔误原文：如果1,2,5<3,6,9，有两种可能（5轻或者3重），所以5称3就行啦。 5称3不行，应该是用一个标准球与3或者5对称一次，看来犯懒的毛病是改了，但是粗心的毛病还需要注意，哈哈。 13球原则上与12球是没有差别的，如果特殊球在1-12号球内，那么灵之来兮如云的做法一定会找到，如果恰巧在13号球，那么按照灵之来兮如云的步骤，情况一定是 1、2、3、4=5、6、7、8 1、2、3=9、10、11 1=12 结论必然是13号球

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